Развертка усеченного конуса чертеж

Что такое развертка конуса и как ее построить? Формулы и пример решения задачи

Каждый школьник слышал о круглом конусе и представляет, как выглядит эта объемная фигура. В данной статье дается определение развертки конуса, приводятся формулы, описывающие ее характеристики, а также описывается способ ее построения с помощью циркуля, транспортира и линейки.

Развертка цилиндра

Цель задания – построение разверток поверхностей с нанесением линии пересечения поверхностей.
Дано: Чертеж “Взаимное пересечение поверхностей цилиндра и полусферы”.
Необходимо: Построить развертку цилиндра и обозначить на ней линию взаимного пересечения поверхностей цилиндра и полусферы.

Мы уже чертили развертку цилиндра, поэтому повторим изученный материал. Тем более исходный чертеж и метод построения исходного чертежа отличается, от предыдущего.

1 комментариев

11 декабря 2018. Автор статьи: Евгений. Категория: #РАЗВЕРТКА ПОВЕРХНОСТЕЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ

Как сделать макет конуса из бумаги схема. Развертка конуса. Построение развертки конуса

Развертка поверхности конуса — это плоская фигура, полученная путем совмещения боковой поверхности и основания конуса с некоторой плоскостью.

Варианты построения развертки:

Усеченный конус – построение фигуры, формулы и задачи

Усеченный конус

Прежде чем говорить об усеченном объекте и его характеристиках, следует рассмотреть исходную фигуру, из которой он получается.

Пусть имеется некоторая замкнутая кривая, лежащая в произвольной плоскости. Это может быть окружность, эллипс или любая другая линия с плавными перегибами. Пусть также существует отрезок, который не лежит в плоскости указанной замкнутой кривой. Если в пространстве зафиксировать некоторую точку, а затем соединить ее с любой точкой на кривой, то получится образующая будущего конуса. Если теперь ее перемещать вдоль замкнутой кривой одним своим концом, в то время как другой конец будет зафиксированным в точке, то она опишет коническую поверхность.

Полный конус

Это геометрическое построение позволяет получить объемную фигуру конус, которая состоит из следующих элементов:

  1. Вершина — зафиксированная точка в пространстве, которая не лежит в плоскости замкнутой кривой.
  2. Коническая поверхность, образованная в результате перемещения отрезка — образующей, или генератрисы.
  3. Основание — часть плоскости, ограниченная исходной замкнутой кривой. Последняя является направляющей, или директрисой, для образующей.

Существующие виды

В геометрии известны несколько видов конуса. Каждый из них определяется характером директрисы и расположением относительно нее генератрисы. Выделяют следующие виды фигуры:

Виды конусов

  1. Круглый прямой. В его основании лежит круг, а высота (длина перпендикуляра, опущенного из вершины) соединяет центр окружности и вершину.
  2. Эллиптический прямой. В его основании находится эллипс, а проекция вершины попадает точно в центр основания.
  3. Наклонный произвольного вида. Высота в этом конусе всегда меньше, чем длина отрезка, соединяющего вершину и геометрический центр основания.

Круглая прямая фигура

Получить этот конус несложно. Необходимо взять прямоугольный треугольник, поставить его на один из катетов и вращать вокруг второго катета, который будет являться осью, а его длина — высотой для объемной фигуры. Катет, на котором стоит треугольник, является радиусом круглого основания конуса.

С полученной фигурой легко работать при решении геометрических задач, поскольку для нее существуют довольно простые формулы для площади поверхности и объема.

Площадь конусов

Площадь S фигуры состоит из двух частей: основания и боковой поверхности. С помощью простых геометрических рассуждений можно показать, что сумма этих частей выражается в виде такой формулы: S = pi*r 2 + pi*g*r, где число pi=3,14, r — радиус окружности в основании, g — длина генератрисы. В разрезе на плоскости коническая поверхность представляет собой сектор круга радиусом g.

Объем рассматриваемого конуса выражается следующей формулой: V = 1/3*pi*r 2 *h. Здесь h — высота фигуры. Можно заметить, что величина V ровно в три раза меньше аналогичной для цилиндра, имеющего то же основание, что и конус. Записанную формулу может вывести любой школьник, который знаком с интегральными вычислениями.

Калькуляторы расчета размеров развертки конуса

Иногда в ходе выполнения тех или иных хозяйственных работ мастер встаёт перед проблемой изготовления конуса – полного или усеченного. Это могут быть операции, скажем, с тонким листовым металлом, эластичным пластиком, обычной тканью или даже бумагой или картоном. А задачи встречаются самый разные – изготовление кожухов, переходников с одного диаметра на другой, козырьков или дефлекторов для дымохода или вентиляции, воронок для водостоков, самодельного абажура. А может быть даже просто маскарадного костюма для ребенка или поделок, заданных учителем труда на дом.

Калькуляторы расчета размеров развертки конуса

Чтобы из плоского материала свернуть объёмную фигуру с заданными параметрами, необходимо вычертить развертку. А для этого требуется рассчитать математически и перенести графически необходимые точные размеры этой плоской фигуры. Как это делается – рассмотрим в настоящей публикации. Помогут нам в этом вопросе калькуляторы расчета размеров развертки конуса.

Круглый конус в геометрии

Приведем геометрическое определение этой фигуры. Круглым конусом называется поверхность, которая образована прямыми отрезками, соединяющими все точки некоторой окружности с одной-единственной точкой пространства. Эта единственная точка не должна принадлежать плоскости, в которой лежит окружность. Если вместо окружности взять круг, то указанный способ также приводит к получению конуса.

Юридический колледж в Иваново: специальности, приемная комиссия, отзывы Вам будет интересно: Юридический колледж в Иваново: специальности, приемная комиссия, отзывы

Круг называется основанием фигуры, его окружность – это директриса. Отрезки, соединяющие точку с директрисой, называются генератрисами или образующими, а точка, где они пересекаются – это вершина конуса.

Круглый конус может быть прямым и наклонным. Обе фигуры показаны ниже на рисунке.

Прямой и наклонный конусы

Термофильные бактерии: польза и вред для человека Вам будет интересно: Термофильные бактерии: польза и вред для человека

Разница между ними заключается в следующем: если перпендикуляр из вершины конуса падает точно в центр окружности, то конус будет прямым. Для него перпендикуляр, который называется высотой фигуры, является частью его оси. В случае конуса наклонного высота и ось образуют некоторый острый угол.

Ввиду простоты и симметричности фигуры далее будем рассматривать свойства только прямого конуса с круглым основанием.

Какую фигуру будем изучать?

Круглый прямой усеченный конус представляет собой два круга, имеющих разный диаметр, которые расположены в параллельных плоскостях. Окружности этих кругов соединены прямыми отрезками равной длины, именуемых образующими фигуры. Расстояние между круглыми основаниями называется высотой. Описанная фигура показана ниже на фото.

Технология исследовательской деятельности: понятие, внедрение нового, разработка проектов, цели и задачи Вам будет интересно: Технология исследовательской деятельности: понятие, внедрение нового, разработка проектов, цели и задачи

Усеченный круглый конус

Получить ее можно двумя принципиально отличающимися геометрическими способами. Во-первых, можно взять обычный круглый конус и параллельной его основанию плоскостью отсечь верхнюю часть. Такое действие приведет к образованию верхнего (малого) основания усеченного конуса. Во-вторых, можно взять трапецию с двумя прямыми углами и вращать ее вокруг стороны, ограниченной этими углами. Сторона трапеции, вокруг которой будет происходить вращение, называется осью фигуры. Две параллельные стороны трапеции опишут круглые основания во время вращения, а четвертая наклонная сторона образует боковую поверхность фигуры.

Получение усеченного конуса

Схема выше демонстрирует получение усеченного конуса с помощью сечения плоскостью.

Получение фигуры с помощью вращения

Перед тем как перейти к рассмотрению развертки поверхности конуса, полезно узнать, как с помощью вращения можно получить эту пространственную фигуру.

Предположим, что у нас имеется прямоугольный треугольник со сторонами a, b, c. Первые две из них являются катетами, c – это гипотенуза. Поставим треугольник на катет a и начнем его вращать вокруг катета b. Гипотенуза c при этом опишет коническую поверхность. Эта простая методика получения конуса изображена ниже на схеме.

Конус - фигура вращения

Очевидно, что катет a будет радиусом основания фигуры, катет b – его высотой, а гипотенуза c соответствует образующей круглого прямого конуса.

Построение развертки конуса

Развертка поверхности конуса — это плоская фигура, полученная путем совмещения боковой поверхности и основания конуса с некоторой плоскостью.

Варианты построения развертки:

Формула площади поверхности фигуры

Для вычисления площади поверхности усеченного конуса необходимо определить эту величину для каждой части его развертки. Обозначим радиусы оснований буквами R и r. Тогда их площади будут равны:

Для вычисления площади боковой поверхности учтем, что ее развертка образована двумя одинаковыми генератрисами g и двумя дугами окружностей, которые имеют длину 2*pi*r и 2*pi*R. Опуская рассуждения и промежуточные математические формулы, приведем конечное выражение для площади этой части развертки фигуры. Оно имеет форму:

Получив площади для оснований и боковой поверхности, можно записать формулу развертки конуса усеченного. Ее общая площадь S равна:

S = So1 + So2 + Sb = pi*(R2 + r2 + g*(R + r)).

Таким образом, площадь S фигуры однозначно определяется из знания радиусов ее оснований и длины генератрисы.

Как построить развертку пирамиды

Комментариев нет

10 декабря 2018. Автор статьи: Евгений Курицин. Категория: #РАЗВЕРТКА ПОВЕРХНОСТЕЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ

Развертка прямого кругового конуса

Развертка боковой поверхности прямого кругового конуса представляет собой круговой сектор, радиус которого равен длине образующей конической поверхности l, а центральный угол φ определяется по формуле φ=360*R/l, где R – радиус окружности основания конуса.

В ряде задач начертательной геометрии предпочтительным решением является аппроксимация (замена) конуса вписанной в него пирамидой и построение приближенной развертки, на которую удобно наносить линии, лежащие на конической поверхности.

  1. Вписываем в коническую поверхность многоугольную пирамиду. Чем больше боковых граней у вписанной пирамиды, тем точнее соответствие между действительной и приближенной разверткой.
  2. Строим развертку боковой поверхности пирамиды способом треугольников. Точки, принадлежащие основанию конуса, соединяем плавной кривой.

На рисунке ниже в прямой круговой конус вписана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF, и приближенная развертка его боковой поверхности состоит из шести равнобедренных треугольников – граней пирамиды.

Рассмотрим треугольник S A B . Длины его сторон S A и S B равны образующей l конической поверхности. Величина A B соответствует длине A’B’. Для построения треугольника S A B в произвольном месте чертежа откладываем отрезок S A =l, после чего из точек S и A проводим окружности радиусом S B =l и A B = A’B’ соответственно. Соединяем точку пересечения окружностей B с точками A и S .

Точки A, B, C, D, E и F, лежащие в основании конуса, соединяем плавной кривой – дугой окружности, радиус которой равен l.

Геометрическая задача

Необходимо провести расчет развертки усеченного конуса, который имеет высоту 13 см и радиусы оснований 2 см и 7 см.

Решение данной задачи с помощью непосредственного применения формулы для S невозможно, поскольку не известна длина генератрисы g. Тем не менее, ее можно вычислить, используя такую формулу:

Это выражение можно самостоятельно получить, рассмотрев прямоугольный треугольник со сторонами g, h и (R-r), здесь h – высота усеченного конуса. Генератриса g будет равна 13,93 см (значение приведено с точностью до 0,01 см).

Осталось подставить значения генератрисы и радиусов в формулу для S, чтобы получить требуемый ответ:

S = 3,14*(72 + 22 + 13,93*(7 + 2)) ≈ 560,1 см2.

Следует не забывать, что записанная для S формула справедлива только для круглого прямого усеченного конуса.

Начертательная геометрия развертка пирамиды

Дано:
Пересечение пирамиды и призмы
Натуральные величины ребер Развертка пирамиды часть 1
Необходимо:
Построить развертку пирамиды и показать и показать на развертке линию пересечения пирамиды с призмой.

В предыдущем видеоуроке “Развертка пирамиды -#1” мы подготовили чертеж Пересечение пирамиды и призмы для выполнения развертки пирамиды. Определили натуральные величины ребер (отрезков) пирамиды способом вращения.

Комментариев нет

10 декабря 2018. Автор статьи: Евгений. Категория: #РАЗВЕРТКА ПОВЕРХНОСТЕЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ

Развертка прямой призмы

Дано:
Пересечение пирамиды и призмы
Необходимо:
Построить развертку прямой призмы и показать на ней линию пересечения призмы с пирамидой.

Построение развертки прямой призмы намного легче, чем развертка пирамиды.

Пример решения геометрической задачи

Параметры круглого прямого конуса

Дан круглый прямой конус. Известно, что угол его боковой развертки равен 120o. Необходимо найти радиус и образующую этой фигуры, если известно, что высота h конуса равна 10 см.

Задача не является сложной, если вспомнить, что круглый конус – это фигура вращения прямоугольного треугольника. Из этого треугольника следует однозначная связь между высотой, радиусом и образующей. Запишем соответствующую формулу:

Вторым выражением, которое следует использовать при решении, является формула для угла φ:

Таким образом, мы имеем два уравнения, связывающих две неизвестные величины (r и g).

Выражаем из второй формулы g и подставляем результат в первую, получаем:

h2 + r2 = 4*pi2*r2/φ2 =>

Угол φ = 120o в радианах равен 2*pi/3. Подставляем это значение, получаем конечные формулы для r и g:

Остается подставить значение высоты и получить ответ на вопрос задачи: r ≈ 3,54 см, g ≈ 10,61 см.

Как сделать конус из бумаги или картона — схема развертка

Инструкция изготовления простого конуса

Сделать конус в основе которого лежит бумага очень просто. На всю работу уходит до пяти минут. Достаточно перед работой изготовить верный чертеж и свернуть материал правильным образом.

/>Простой конус схема

Для первой работы потребуется:

  • лист А4;
  • циркуль с вставленным карандашом;
  • длинная линейка
  • ножницы;
  • степлер или клей.

Как сделать конус из бумаги пошагово:

  1. Берем бумагу. Определяем центр листа. Отмечаем место.
  2. В отмеченную точку ставим острие циркуля и чертим круг. Вырезаем нарисованную фигуру. На полученной заготовке от края к уже установленному центру проводим линию. Делаем по этой линии разрез.
  3. Из сделанного круга с разрезом, сворачиваем воронку. Скрепляем края фигуры с помощью степлера или клея.

Конус готов. Готовую фигуру можно использовать для разнообразных поделок. А если добавить к нашей фигуре шар, то получится поделка для выставки на геометрическую тематику.

Для чего используется конус

Мы подробно разобрали самые простые варианты как сделать правильный конус из бумаги. Для чего используется эта поделка? Направления у нее самые различные:

  • геометрических выставок;
  • объемных поделок;
  • изготовления маскарадных шляп.

Ваша фантазия подскажет вам, где еще может применяться конус. А мы поможем вам вдохновиться с помощью простой конусной поделки елочки.

/>Ёлка из конуса

Для нее потребуется:

  • картон;
  • бумага для подарков;
  • скотч;
  • декоративные предметы;
  • ножницы.

В основе изделия, как вы уже поняли, лежит конус. Изготовьте его по одной из предложенных выше инструкций.

Далее работаем по схеме:

  1. Полученный конус, оборачиваем бумагой для подарков. Крепим кончик материала к верхушке скотчем и аккуратно оборачиваем бумагу по фигуре. Отрезаем лишний материал.
  2. Крепим концы с помощью скотча.
  3. Вы не поверите, но елочка готова. Осталось ее украсить как настоящую. С этой целью могут подойти пуговицы, большие бусины и миниатюрные новогодние игрушки.

В ёлке можно сделать отверстия. И если она достаточно широка, поместите внутрь конуса новогодние огоньки. В темноте, они будут приятно мелькать, создавая приятную атмосферу.

Оцените статью
Рейтинг автора
4,8
Материал подготовил
Максим Коновалов
Наш эксперт
Написано статей
127
А как считаете Вы?
Напишите в комментариях, что вы думаете – согласны
ли со статьей или есть что добавить?
Добавить комментарий